設(shè)X和Y為賦范空間，φ：為共軛雙線性泛函。對x∈X，

y∈Y，令

求證：

(a)若φ為有界的，則它在X×Y上連續(xù)。

(b)若φ為有界的，則任取x∈X，y∈Y有f^y∈X'，f_x∈Y'

(c)若任取x∈X，y∈Y，有f^y∈X'，f_x∈Y'且X或Y為Banach空間，則φ必為有界的。

設(shè)X為賦范空間，z∈X，f∈X'。求證：若T：X→X定義為

T(x)=f(x)z， x∈X。

則T為緊線性算子。

設(shè)X，y為賦范空間，F(xiàn)：X→Y為線性算子。若y'∈Y'，定義F'(y')：為

F'(y')(x)=y'(F(x))， x∈X

求證：

設(shè)X，Y，Z為賦范空間，F(xiàn)∈BL(X，Y)，G∈BL(Y，Z)。求證：(G·F)'=F'·G'

設(shè)X，Y為賦范空間，F(xiàn)∈BL(X，y)。求證；

‖F(xiàn)‖=sup{|y'(F(x))|:x∈X，‖x‖≤1，y'∈Y',‖y'‖≤1}

設(shè)E是賦范線性空間，L是E的閉子空間．在中令

證明：按照‖·‖是賦范線性空間。若E可分，則也可分．任取x∈ξ，證明‖ξ‖=d(x，L)，這里d(x，L)表示x與L的距離。

設(shè)X，Y為內(nèi)積空間，F(xiàn)：X→Y為線性算子。求證：任取x∈X有

‖F(xiàn)(x)‖=‖x‖ (23)

當(dāng)且僅當(dāng)任取x₁，x₂∈X有

＜F(x₁)，F(xiàn)(x₂)＞=＜x₁，x₂＞。 (24)

設(shè)H為Hilbert空間，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，…為H的閉子空間且對于n≠m有F_n⊥F_m。設(shè)

求證：任取x∈F，對n=1，2，…，存在唯一的x_n∈Fn，使得

若X為賦范空間，A∈BL(X)為可逆的，求證：