設m階矩陣A滿足(A+I)³=0，I是同階單位矩陣，試判斷A是否可逆。

算子A稱為冪零的若存在正整數(shù)m使得A^m=0。試求復Banach空間X上冪零算子的譜。

設A是n階實對稱正定矩陣，則由格式(2.21)得到的向量序列{r^(k)}和{z^(k)}滿足

[r^(k)，z^(k-1)]=0，[r^(k)，r^(l)]=0，[z^(k)，Az^(l)]=0(k≠l)．(2.22)

設A為n階正矩陣，若存在某個x∈Cn，x≥0，x≠0，Ax=λx，試證x為Perron向量的倍數(shù)且λ=γ(A)．

設A是m×n階全單模矩陣，b∈Rⁿ是整數(shù)向量，證明：多面凸集P={x∈Rⁿ|Ax≤b，x≥0)的極點都是整數(shù)極點(即分量都取整數(shù)值)．

設非負矩陣A∈Rn×n，若A有正特征向量x，則對所有m=1，2，…和i=1，2，…，n，有

，其中Am=(ij(m))．特別地，若γ(A)＞0，則對m=1，2，…，都有γ(A)－1Am的各元一致有界．

令n=2m+1，m為正整數(shù)。試證明A=(a_ij)是對稱冪等的n階拉丁方。其中

a_ij=(m+1)×(i+j) (modn的運算)

設A=(a_ij)_mxn，試證下列等式成立：

(1)

(2)若|A|≠0，則。

(3)若|A|≠0，則。

(4)若|A|≠0，則，這里k≠0。

(5)若|A|≠0，則

(6)若A，B是同階可逆矩陣，則。

設α是n維列向量，A是n階方陣，如果Am^-1α≠0，A^mα=0．證明：α，Aα，…，A^m-1α線性無關．